為什麼1+1=2?

　　1+1=2這是一道連小學生都會的數學題。然而升到高中後，就開始有學生會問，為什麼1+1會等於2。光是今年，我就被學生問了很多次了。所以我決定在這裡解答啦。學生會問這個問題，說明他們有在思考了，當然不排除有些人只是問好玩，但也是有真正想知道答案的學生的。

　　這問題其實是一道世紀難題，最先提出類似這道問題的人是 一位德國數學家哥德巴赫，他當時提出來的問題是「任何不小於6的偶數都可以用兩個質數相加來表示」當時他試圖自己去證明，但卻証明不到，最後他去求助於當時最出名最有權威的數學家歐拉，歐拉很快給他答覆說他的猜想肯定是對的，但歐拉也沒辦法証明XD。這是發生在1794年時。

　　話不扯遠了，回到1+1=2這問題上。其實在人類的認知世界裡為了更方便大家的研究達成一致的共識都是被"某些規則"所限定，大家都照著那"規則"在走。就好比所有的遊戲及比賽亦有所謂的規定，不遵守這些規則的話就是犯規，遊戲就玩不下去了。

　　而數學裡也有所謂的"規則"，這些"規則"被稱為「公理」(或稱公設)、「定義」。所有的數學都是遵照著這些公理、定義的規定下推導出來的。在不同的定義及公理下，就會有不同的結果，最簡單的就是"歐幾里德幾何"與"非歐幾何"，因公理的不同，所德到的結果也是不一樣的，在歐幾裡平行線是不可能相交，但在非歐裡平行線是會相交的。

　　而1+1=2有些人認為這就是一個公理，根本沒有去証明的必要。這就好像「自己」用「我」來表示。如果當初大家都寫1+1=3那麼現在大家也會認為1+1=3。「2」這個東西只是最初被拿來用的一個「符號」。其實1+1=2這東西在某個條件下時也是不成立的啊，這在初一時已學過了，在2進制時1+1=10就不再是2了。所以對追求1+1=2這問題真的有那麼重要嗎？

　　這樣說好像沒有解決到大家的迷思喔。如果真的要證明嘛，也是有啦。那就要先提提peano公理。peano(皮亞諾)是意大利數學家，他提出了五條自然數的性質，這五條自然數的性質叫做自然數的皮亞諾公理。那peano 公理講的是什麼呢？

　　peano 公理：所謂自然數,就是滿足下列條件

1. e是自然數；
2. 每一個確定的自然數n，都有一個確定的後繼數n+ ，n+ 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；
3. 如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c；
4. e不是任何自然數的後繼數；
5. S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N(這條公理保證了數學歸納法的正確性)

　　根據我們用慣的符號得知，e就是我們常寫的1。而1+(1的後繼數)就是2，(1+)+=2+即是3。

証明：1+1=2

因為(1+1)的後斷數是1的後繼數的後繼數即是3

而又知2的後繼數是3

跟據peano公理的第4條得知1+1=2(得証)

簡單來說其實這真的沒什麼好證明的。1,2,3,4,...都純只是一個我們用慣的符號而已。用中文來寫時就是一加一等於二。

　　至於peano公理，他所遵守的"規則"法其實是大學所修的代數裡的一門學問叫群論。這有興趣的話，大學時可以自己再深入了解。

　　總得來說還是那句話，人類為了方便而列出了許多規定，而一直按照這些規定去走。數學家亦是如此，為了研究的方法而規定了許多的公理及定義。其實人生亦是如此，若你要你的人生有意義你也要有一個生涯規劃，讓你可以朝著你的目標前進。

3D圖

　　3D圖，又稱MAGIC EYE PICTURE相信很多人都有見過，但要看出其內在的乾坤，又不是每個人都可輕易辦到的事。以下列出幾張圖供大家玩玩。

三隻海豚

兩個連著的愛心

一隻双髻鲨

一個很大的$符號

兩朵很大的梅花，下面還有一些不懂是什麼

有一個「春」字(這張很美)

　　話說我第一次接觸這種圖已忘了是什麼時候了，然而給我印象最深刻的一次是在學校當老師時的那一次。那次一班朋友在閒聊，突然有人忘了是誰拿了一些3D的卡片過來，過後專麗也拿了好幾張來，然後大家就在那裡看。其中專麗最厲害囉，一下子就把全部看完了，而我們其餘的菜鳥花了很長的時間，有些人最後有看到幾張，有些人則是一無所獲。而我就是那一無所獲的其中一人。當時就在想，怎麼這麼多年了，我還是不會看這種東西，這件事應該是發生在2006或2007年的時候吧。後來就鮮少再接觸到這種東西了。

　　一直到昨天晚上閒著沒事做就上網找一些未解之謎的東西來看，結果去到一個論壇一個主題一個主題慢慢的去看。看到其中一個時，有人貼出了一張3D的圖，讓大家猜猜到底隐藏了什麼東西。不服輸的心理又作祟了，我再度的去挑戰這個一直被我認為是不可能的任務。結果看了老半天(大概30分鐘到1小時)結果還是看不出個所以然來。算了放棄，繼續往下看文章。看了四五篇，結果又看到了有人貼兩張3D圖，看到下面有一個回覆者說他只花了十秒就看出來了，這未免也太快了吧，我花了三十分鐘看不到東西囉。不服輸的心理又再度作祟再去看，結果還是看不出東西。甚至還上網找了人發說怎樣看怎樣看的方法。但還是沒用，看不到就是看不到。

　　過後就到FACEBOOK上發表了個Status說在看三維的圖，看不到東西，沒有立體感的人。就有人開始comment了囉，其中一個人給了我一個網址http://www.flash-gear.com/stereo/，這個網址可以自己制作3D的圖，我就說連看都不會還學人家做。哪知道最後我還是從自己做的抓到了訣竅，就這樣會看了。

　　去到那個網站，第一次我寫了"你好"這兩個字，結果看了老半天還是看不出來。過後我就改用很粗的筆，寫了個"忠"字(我蠻喜歡寫忠字的，平時沒事就會寫，不懂為什麼)然後一邊和人聊天一邊看。最終用了我以前在漫畫裡看到的手法來試，雖然以前用過但不成功，可是這次竟然成功了。當那個圖浮出來時，我還以為是錯覺，把手指拿掉，頭往後移，結果浮出來的圖跟著我在動，好好玩。然後我就開始去找我寫的忠字，最後被找到了，原來那個忠字會凹進去的，其他地方會凸出來。

　　我以前一直以為看到的那些立體圖應該是呈現全部白色或是什麼顏色的，因為那些看到的人都可以很快說出看到了什麼東西。結果卻不是，還是一樣整張圖的顏色一樣，只是會有凹凸的地方而已。帶著興奮的心情，又一邊跟人聊天一邊看其他的圖，上GOOGLE去找了十多二十張來看，結果每張都看得到，但有些不懂是什麼來的，應該說大部份我都不懂它們是什麼東西，只看得出凹凸的樣子，哈哈哈......再度要說自己除了沒有立體感外還沒有藝術細胞。就這樣一直看到凌晨一點多才去睡。

　　至於上網找到的方法，說得還真是玄啊。什麼不是直接看螢幕，要把螢幕當作玻璃來看，是隔著一層玻璃去看那張圖，我還真的去想像咧，最後還是什麼都沒有。哈哈哈.....

　　那個我說在漫畫裡看到的方法是大家最常聽到的方法。也就是把一根手指放在圖的前面，然後去注視那根手指。以前大家常說用鬥雞眼去看，結果我什麼都看不到囉。這次才不管它鬥不鬥雞眼，我就只注意手指的頂端，看著看著，幾秒後圖就浮出來了。

　　至於看三維圖的原理嘛.....如下圖

　　人有两只眼，两只眼有一定距离，这就造成物体的影象在两眼中有一些差异，见右图，由图可见，由于物体与眼的距离不同，两眼的视角会有所不同，由于视角的不所看到是影象也会有一些差异，大脑会根据这种差异感觉到立体的景象。三维立体画就是利用这个原理，在水平方向生成一系列重复的图案，当这些图案在两只眼中重合时，就看到了立体的影象。(轉自http://bbs.jiyifa.cn/read.php?tid=7834)

PS:當你看到一張後，你就抓到訣竅了，接下來的幾張都是這樣看，只是有時會看得比較慢而已。至於看的方法嘛，我沒有講到很細仔，想要學的或許可以上網找其他教學法，相信他們可以提供很好的方法的，呵呵....

明日環或稱喜結良緣

記得今年(2010年)的某一天下課去高二理忠時，看到一票學生在玩著明日環這個魔術。什麼是明日環？就是下面影片裡所表演的魔術

　　這魔術早在台灣留學時就已看過，當時覺得很神奇，怎麼會這樣呢？今年再看到時還是覺得蠻有趣的。學生問我會不會變，嘻嘻......我還真的不會咧。

　　今天閒閒沒事就去想這魔術的原理，拿了绳子和鎖匙圈，去youtube找了影片來看，看來看去還是看不出個所以然來。最後當然是自己動手去做去分析囉。

　　當不懂開始如何時，那我唯一能做的就是從結果去推論過程。最後的結果是那個環與鏈打結了，既然自己做不來，那就直接打個結來看嘛。要打結首先鏈要穿過環中間，這在一開始時就做了，就是當我們把環往上移時。再來呢？如果是移動鍊，那就是把鍊的一頭穿過另一頭，再一拉就打成結了。但看影片這魔術不是這樣的，因為鍊的兩端根本就沒有動。那還有什麼方法可以讓這兩個東西打起結來呢？想到鍊不能動，我就去動環囉，上下移動，好像沒什麼用，那就翻轉吧，結果這一翻就讓我翻出了頭緒來了。經過我反覆的"實驗"，終於得到了我想要的東西，只要讓環反翻，那它們就有會打結了。為了應證我的想法，我還反覆的看了幾次影片，確定了在環下落的過程時，它的確有翻轉的跡象。

　　解決了打結的問題後，接下來就是如何讓那個環翻轉？拿著環在手裡，翻來翻去，似乎好像也沒什麼好方法。正當沒有頭緒時，手上的鎖匙圈掉了下來敲到了桌子邊，翻轉了一圈。哈哈哈......很可笑吧，原來要翻轉是這樣容易的，那就是只要在環落下的過程中，給它的一邊"敲"到一物體，那麼它就會翻轉了。

　　可是看影片環在落下的過程中根本就沒有根任何東西碰觸啊，那它到底怎樣翻轉的。其實只要你仔細看這影片，唯一能讓環碰觸到東西的時間就只有在手指放開環的那一剎那。想著想著，想到了一種可能性，那就是在把環往上提到定位的位置後，看似兩支手指拿著環，其實中指是頂在環的下方，那當食指和姆子放開時，環下落下的過程中就會打到中指而進行翻轉。

　　後來想一想，其實要讓環翻轉還有其他方法。第一種就是在放手的時候可以食指往下壓，姆子往上推，但動作要快不要讓人看出破綻，這動作其實我們平時都在做，像手翻轉硬币時。另一種方法就是比較高技巧的，但不懂可不可行，沒實驗過，那就是在拿環的時候，環靠在食指的上邊，姆指則靠在下邊，放手時放開姆指，則環會因為在落下過程中還與食指有接觸而有麼擦力，使到環的左右兩邊落下速度有偏差，進而翻轉過來。

　　其實這個魔術的原理。說穿了就是物理裡面的重力與慣性這兩個連初中生都懂的原理。環因一開始左右兩邊的受力情況不同而有不同的慣性，往下掉則是受重力的影響。當然這個魔術要成功要有幾個條件，首先你用的鏈要是那種很軟的鏈，看這魔術用的都是那種"珠"狀形的鏈。再來長度要是可以讓環翻轉的時間所需的長度，不然也是不會成功的。

　　簡單的一些原理與技巧卻困擾了我好一段時間，我們常很在意考試分數的高低，然後考試高分又代表了什麼呢？如果課本的內容你都可以背得滾瓜爛熟了，考高分不奇怪，問題是當遇到要用到課本所講述的原理時，你是否有能力將這些東西聯繫起來呢？不要做個只會讀死書的人，光有知識是不夠的，要將知識化成你的智慧。共勉之～

數學家應徵消防員工作

一天，數學家覺得自己已受夠了數學，於是他跑到消防隊去宣佈他想當消防員。
消防隊長說：“您看上去不錯，可是我得先給您一個測試。”
消防隊長帶數學家到消防隊後院小巷，巷子裏有一個貨棧，一隻消防栓和一卷軟管。

消防隊長問：“假設貨棧起火，您怎麼辦？”
數學家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍，把火澆滅。”

消防隊長說：“完全正確！最後一個問題：假設您走進小巷，而貨棧沒有起火，您怎麼辦？”
數學家疑惑地思索了半天，終於答道：“我就把貨棧點著。”

消防隊長大叫起來：“什麼？太可怕了！您為什麼要把貨棧點著？”
數學家回答：“這樣我就把問題化簡為一個我已經解決過的問題了。”

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看起來好像很搞笑對不對?
我剛剛突然發現有時我也會這樣子做
面對一些已解決了的問題，當新問題出現時，我會把新問題變化成我已解決過的問題來處理。我想很多人都有過這樣的經驗吧

像eclass的作業分數，很多老師都是以班級來分組後把分數汇出然後再進行計算
而我的做法則是，直接打開分數欄，然後打開excel，直接一邊看eclass的分數一邊key in進excel
然後再用以前學過的excel知識來處理那些分數。這樣做起來會比他們汇出來得慢，但我卻不會想要用汇出的方法。
人的腦容量有限的，我常會選擇我想要記的事去記，一些認為不怎麼重要的往往都被忽略掉。你可以說我懶，但這是我的學習方式，多動腦把新的東西與舊的知識做結合。哈哈哈.....
每個人都有不同的學習方式，祝你們盡快找到自己的學習方式。

號稱史上最難的數獨

有興趣的人就去玩吧
哈哈哈....
我沒興趣玩:p

數學笑話1

有一次在美國一場關於教育問題的演講上﹐一個數學家講了個笑 話來說明美國數學教育的失敗。他說：”在某個大學裡﹐有一次一個 橄欖球隊員因為學業成績太差而將被學校退學。教練替這個隊員 向他的數學教授求情﹐教練說這個學生對球隊太重要了﹐希望 教授無論如何也要給這個學生一個補考的機會。央求許久之後﹐ 教授勉為其難的答應了。補考當天﹐教練帶著學生到考場。教授說： 這次題目非常簡單﹐如果你答對﹐這學期就過了。題目是---根號 4等於多少？你有一個小時的時間作答。於是﹐學生開始埋頭計算﹐ 時而望著天花板苦思。教練則緊張的坐在旁邊。最後﹐一個小時到了﹐ 這個學生顫抖的伸出兩隻指頭﹐怯懦的說：”2..."。教授還未回答﹐ 教練就跳起來大喊："再給他一次機會！！”
數學家講完這個笑話後發現全場聽眾都沒反應﹐只有一個人哈哈大笑﹐ 原來這個人手上拿了一個計算機。

讀後感：
看了不懂笑點在哪裡？其實這則笑話是在諷刺人類對電子工具的依賴。全場除了一
個人外，其他人都不笑，那是因為他們也不懂真正的答案是什麼，只有那個拿著計算機的人知道原來那個教練的數學比那運動員還差。
　　在學校教書的這幾年，發現到學生對計算機的依賴有越來越嚴重的趋勢。越來越多學生連一些簡單的運算像兩位數的加減法，分數的化簡等的都是用計算機來算才能安心，對自己的運算能力完全沒有信心，這真是很可悲。上課時不用計算機做一些整數的運算，學生卻覺得很神奇，其實心算是慢慢練出來的吧，我也沒有學過心算，就自己去找尋一套適合自己運算的「路徑」，再加以訓練常用，慢慢的就可以算很快了啊，沒什麼好佩服的。
　　科技帶來的方便卻使到人們過於依賴科技。學生常說的一句話，電腦都都可以算了，還要學這樣多來幹嘛，交給電腦就好了。無可否認，現今還是有很多人才掘起，但這些人才相信都是因為基础打得穩，內功很深厚的一群人吧。一個完全沒有理論和概念的人，所談的一些很多時候都只是空談，光是給你一台電腦對於你也是無助於事，它不過是能幫你解決你所給的式子，前提是你要給電腦這個式子，若你沒有把那式子列出來的思考能力，科技又如何幫得到你呢？
　　在我們應用科技的同時，是不也該好好想想到底我們應用到什麼程度呢？物極必反是我們中華文化祖先早就發現的道理，而中庸之道正是我們所推崇的。如何有效的應用科技對我們而言是一個很大的考驗與決擇。有智慧的人懂得利用工具，盲目的人反而會被工具利用，各位讓我們來做個有智慧的人吧。

ps:雖然我不覺得我有智慧，哈哈哈…..

切線與曲線的關係

切線與曲線之間就大家所知，它們只有一個交點。
前陣子有一位學生(曾偉鋒)，丟了這樣一個問題給我：過曲線外一點的切線方程只能用課本的求法嗎？因為他從他表妹那裡得到了另一種求法，但又不早一點說是她的老師教的，只是拿來問我到底可不可以這樣做。這下就傷腦了，因為要去証明，所以就擱在一邊了，叫他去問雁冰老師，結果最後問題還是跑回了我的手上。在百般無奈下，只要硬著頭皮去証明看看那種做法是否可行囉。最後証實了，那種做法是可以的。

在做這証明時，一開始我直接設曲線的一般式與直線的一般式Ax+By+C=0，然後就這樣去找它們的關係，結果整理出了很複雜的式子，這裡就不列出來了了。過後想想就用矩陣來表示直線和曲線方程，結果就這樣被我誤打誤撞的給証明到了。

整個証明如下：

附錄


有了這個結果，那以後要求已知過點P(x,y)的直線，且與曲線相切的直線方程就簡單多了。

例1(過曲線上一點，且與曲線相切的直線方程)
求過點(2,4)且與曲線相切的直線方程。
解：

例2(過曲線外一點，且與曲線相切的直線方程)
求過點P(-2,-1)，且切於橢圓的切線方程。
解：

ps:其實我不覺得這個方法很快囉，因為光是因式分解直線對就會難倒一堆人了。看得懂有興趣的人可以學起來，看不懂嘛.....那就老老實實用課本的方法吧，哈哈哈....