切線與曲線的關係

切線與曲線之間就大家所知，它們只有一個交點。
前陣子有一位學生(曾偉鋒)，丟了這樣一個問題給我：過曲線外一點的切線方程只能用課本的求法嗎？因為他從他表妹那裡得到了另一種求法，但又不早一點說是她的老師教的，只是拿來問我到底可不可以這樣做。這下就傷腦了，因為要去証明，所以就擱在一邊了，叫他去問雁冰老師，結果最後問題還是跑回了我的手上。在百般無奈下，只要硬著頭皮去証明看看那種做法是否可行囉。最後証實了，那種做法是可以的。

在做這証明時，一開始我直接設曲線的一般式與直線的一般式Ax+By+C=0，然後就這樣去找它們的關係，結果整理出了很複雜的式子，這裡就不列出來了了。過後想想就用矩陣來表示直線和曲線方程，結果就這樣被我誤打誤撞的給証明到了。

整個証明如下：

附錄


有了這個結果，那以後要求已知過點P(x,y)的直線，且與曲線相切的直線方程就簡單多了。

例1(過曲線上一點，且與曲線相切的直線方程)
求過點(2,4)且與曲線相切的直線方程。
解：

例2(過曲線外一點，且與曲線相切的直線方程)
求過點P(-2,-1)，且切於橢圓的切線方程。
解：

ps:其實我不覺得這個方法很快囉，因為光是因式分解直線對就會難倒一堆人了。看得懂有興趣的人可以學起來，看不懂嘛.....那就老老實實用課本的方法吧，哈哈哈....