什麼是極限

　　極限limit，這到底是什麼東西呢？今年在高二教這一章時，引用了莊子天下篇的「一尺之棰，日取其半，永世不竭」及三國劉徵的割圓術來引入極限這一概念。過後有一陣子在想，是否有更好的方法讓學生去接受極限呢？因為有學生會問，為什麼不要用大於或小於來表示，反正它只是很接近而已，並沒有等於。思了一陣子後，終於想到了另一種方法，或許這樣講，學生會更能接受吧，也可能更不能接受。我們來看這樣的一個數列0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,0.99999999...9,0.9999...
數列的通項a_n等於0.n個9，當n是可數的數時，我們當然可以說他不等於1，就算是0.9999...9有一億萬個9，這個數還是不等於1，是小於1的，這些有限數個9的數字，我們都可以列到這個數列上，只要給定一個n就有相對應的一個數字a_n存在，但如果n是一個不存在的數時呢？像n是∞時，∞只是一個符號，並不是一個數，那是不是說就找不到一個數a_n跟它對應了，換句話說，當n是∞時，在這個數列上找不到這樣的一個數a_n(因為數列的n都要是可數的)，也就是說0.9999...這個數實際上是不存在的。mean並不是一個存在的數。那為什麼在課堂上我們說它等於1呢？

　　在這裡給大家一個全新的概念，其實所有的極限不論是存在或是不存在的極限，都是實際上不存在的數來的。至於我們所說極限存在等於某個數，這個數只不過是一個代表著那個極限的符號而已就像我們以1來表示，當然你不要用1來表示，想要用α，你的姓名等的來表示也是可以的。至所以極限會用實數當作它的符號是因為實數數是我們所熟悉的東西，最重要的是實數可以進行運算，因為實數數的運算大家都已達成共識了，所以沒有必要再去多定義一個新的運算法則，不然大家又要重新去記多一個定義，定理了。

　　既然它只是一個符號，那為什麼還是有所謂的不存在的極限呢？極限不存在是因為那個極限沒辦法用同一個自然數來代表它的符號，所以就被定義成不存在了。
　　
　　「一尺之棰，日取其半，永世不竭」，按這句話來說，應該是永遠都取不完了，但如果用極限來表示，是會被取完的:p。但實際上的確是不會取完的，也就是說(1/2)^n，當n趋近於無限大時，這個數實際上是不存在的，但為了方便我們書寫，所以用0這個符號來表示它。

　　打了那麼多，大家應該會覺得很亂，這裡來做個總結吧。極限這東西只是一個符號，並不是真正存在的一個數。會用實數來做它的符號是因為實數有足夠大的量來做符號給它做對應，且實數的運算是大家所熟悉的，在做起運算之類的東西時，方便很多。(數學往往就是為了方便某件事而被創造出來的)。

　　既然極限是一個實際上不存在的東西，有些人很難接受它，那是可以理解的，學不會極限不是你的錯，只是你無法接受新的而且不存在的東西而已，只能說明你是一個現實主義者，不是幻想主義者，哈哈哈......

　　以上的想法純於個人異想天開的想法:p，看看就好，對有你幫助那就最好，對你沒有幫助，那就讀了就忘了它吧。