[推理]100個囚犯的問題

剛剛在網路上看到了一個蠻有趣的問題，最佳解是什麼似乎還沒有結論，大家有興趣可以想一想

題目是：
有１００個無期徒刑囚徒，被關在１００個獨立的小房間，互相無法通信。每天會有一個囚徒被隨機地抽出來放風，隨機就是說可能被抽到多次。放風的地方有１盞燈，囚徒可以打開或者關上。除囚徒外，沒有別人會去動這個燈。每個人除非出來放風，是看不到這個燈的。
一天，全體囚徒大會，國王大赦，給大家一個機會：如果某一天，某個囚徒能夠明確表示，所有的囚徒都已經被放過風了，而且的確如此，那麽所有囚徒釋放；如果仍有囚徒未被放過風，那麽所有的囚徒一起處死！
囚徒大會後給大家２０分鐘時間討論，囚徒們能找到方法麽？

補充：囚犯放風時不能帶任何可以做記號的工具

什麼是極限

　　極限limit，這到底是什麼東西呢？今年在高二教這一章時，引用了莊子天下篇的「一尺之棰，日取其半，永世不竭」及三國劉徵的割圓術來引入極限這一概念。過後有一陣子在想，是否有更好的方法讓學生去接受極限呢？因為有學生會問，為什麼不要用大於或小於來表示，反正它只是很接近而已，並沒有等於。思了一陣子後，終於想到了另一種方法，或許這樣講，學生會更能接受吧，也可能更不能接受。我們來看這樣的一個數列0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,0.99999999...9,0.9999...
數列的通項a_n等於0.n個9，當n是可數的數時，我們當然可以說他不等於1，就算是0.9999...9有一億萬個9，這個數還是不等於1，是小於1的，這些有限數個9的數字，我們都可以列到這個數列上，只要給定一個n就有相對應的一個數字a_n存在，但如果n是一個不存在的數時呢？像n是∞時，∞只是一個符號，並不是一個數，那是不是說就找不到一個數a_n跟它對應了，換句話說，當n是∞時，在這個數列上找不到這樣的一個數a_n(因為數列的n都要是可數的)，也就是說0.9999...這個數實際上是不存在的。mean並不是一個存在的數。那為什麼在課堂上我們說它等於1呢？

　　在這裡給大家一個全新的概念，其實所有的極限不論是存在或是不存在的極限，都是實際上不存在的數來的。至於我們所說極限存在等於某個數，這個數只不過是一個代表著那個極限的符號而已就像我們以1來表示，當然你不要用1來表示，想要用α，你的姓名等的來表示也是可以的。至所以極限會用實數當作它的符號是因為實數數是我們所熟悉的東西，最重要的是實數可以進行運算，因為實數數的運算大家都已達成共識了，所以沒有必要再去多定義一個新的運算法則，不然大家又要重新去記多一個定義，定理了。

　　既然它只是一個符號，那為什麼還是有所謂的不存在的極限呢？極限不存在是因為那個極限沒辦法用同一個自然數來代表它的符號，所以就被定義成不存在了。
　　
　　「一尺之棰，日取其半，永世不竭」，按這句話來說，應該是永遠都取不完了，但如果用極限來表示，是會被取完的:p。但實際上的確是不會取完的，也就是說(1/2)^n，當n趋近於無限大時，這個數實際上是不存在的，但為了方便我們書寫，所以用0這個符號來表示它。

　　打了那麼多，大家應該會覺得很亂，這裡來做個總結吧。極限這東西只是一個符號，並不是真正存在的一個數。會用實數來做它的符號是因為實數有足夠大的量來做符號給它做對應，且實數的運算是大家所熟悉的，在做起運算之類的東西時，方便很多。(數學往往就是為了方便某件事而被創造出來的)。

　　既然極限是一個實際上不存在的東西，有些人很難接受它，那是可以理解的，學不會極限不是你的錯，只是你無法接受新的而且不存在的東西而已，只能說明你是一個現實主義者，不是幻想主義者，哈哈哈......

　　以上的想法純於個人異想天開的想法:p，看看就好，對有你幫助那就最好，對你沒有幫助，那就讀了就忘了它吧。

最恐怖的七道变态心理推理题

一、企鵝肉
一個女孩有一天給一個男孩做了一道菜,男孩吃完了，但是覺得味道怪怪的，於是他問那女孩，這是什麼肉啊？女孩説：這是企鵝肉，男孩沉思了一會兒……痛哭了起來，隨後自殺了。為什麼？

二、跳火車
一個人坐火車去鄰鎮看病，看完之後病全好了。回來的路上火車經過一個隧道，這個人就跳車自殺了。為什麼？

三、水草
有個男孩跟他女友去河邊散步，突然他的女友掉進河裏了，那個男孩就急忙跳到水裏去找，可沒找到，他傷心的離開了這裡，過了幾年後，他故地重遊，這時看到有個老人在釣魚，可那老人釣上來的魚身上沒有水草，他就問那老人為什麼魚身上沒有沾到一點水草，那老人説：這河從沒有長過水草。説到這時那男孩突然跳到水裏，自殺了。為什麼？

四、葬禮的故事
有母女三人，母親死了，姐妹倆去參加葬禮，妹妹在葬禮上遇見了一個很帥的男子，並對他一見傾心。但是葬禮後那個男子就不見了，妹妹怎麼找也找不到他。後來過了一個月，妹妹把姐姐殺了。為什麼？

五、半根火柴
有一個人在沙漠中，頭朝下死了，身邊散落著幾個行李箱，而這個人手裏緊緊地抓著半根火柴。推理這個人是怎麼死的？

六、滿地木屑
馬戲團裏有兩個侏儒，瞎子侏儒比另一個侏儒矮，馬戲團只需要一個侏儒，馬戲團裏的侏儒當然是越矮越好了。兩個侏儒決定比誰的個子矮，個子高的就去自殺。可是，在約定比個子的前一天，瞎子侏儒也就是那個矮的侏儒已經在家裏自殺死了。在他的家裏只發現木頭做的傢具和滿地的木屑。問他為什麼自殺？

七、夜半敲門
一個人住在山頂的小屋裏，半夜聽見有敲門聲，他打開門卻沒有人，於是去睡了，等了一會又有敲門聲，去開門，還是沒人，如是幾次。第二天，有人在山腳下發現死屍一具，警察來把山頂的那人帶走了。為什麼？

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解答
一.企鹅肉
几年前，他和一个朋友出去玩，遇海难漂到一个岛上，没有东西吃。
朋友出去找东西，带回了烤好的企鹅肉，而且腿上捉企鹅时受了伤。朋友
不肯吃企鹅肉，结果饿死了。现在他吃到真的企鹅肉，知道那时候朋友是
把自己腿上的肉割下来烤了给他吃了

二.跳火车
答：因为他看好的是眼睛的病。经过隧道，以为眼睛又看不见了。经受不
住打击，自杀了。

三.水草
答：几年前，他跳水里找女友的时候，自己的腿被一些东西缠住了。就拼
命的蹬，总算挣脱了那些东西。他以为那是水草。现在他终于明白，那是
女友的头发。

四.葬礼的故事
答：因为家里如果再死一个人，又可以举行一次葬礼，那个男子可能又会来
参加葬礼,妹妹就又可以见到他了。

五.半根火柴
答：几个人乘热气球旅行,路过沙漠,气球漏气,很危险.大家把行李全都扔
下去了,还不行.只好扔下去一个人,大家决定拿几根火柴决定.谁抽到半根
的把谁丢下去.事情就是这样.

六.满地木削
答：因为另一个侏儒把矮个侏儒家里的所有家具的脚都剧了一截。矮个侏儒
看不见，一摸家具都突然矮了许多，以为自己长高了，觉得失去了竞争优势，
从此生计无处着落。从今往后，他的演出再也上不了票房排行榜，他再也当
不上嘎那最佳男主角，大伙儿看了他的演出不再兴奋的歇斯底里的大叫；他
再也代表不了社会先进生产力的发展要求，再也代表不了先进文化的前进方
向，再也代表不了最广大人民的根本利益。他好绝望，于是就自杀了。

七.夜半敲门
答：因为他的门开在悬崖边，那个人好不容易爬上来，他门一开，就被推下
去了。如此几次，破了气门而亡。

圓系

　　圓系的題目的速解法，說穿了其實是應用了三點定一圓的概念來解題。那圓系的題目包括了哪些題型呢？

第一種：已知兩圓C₁及C₂的方程式，求過此二圓的交點，且圓心在直線L上，或圓過一點(x₀,y₀)或給圓心的其中一個座標等的。先決條件就是兩圓C₁及C₂要有兩個交點，若沒有兩個交點，則無法做下去。

第二種：已知圓C₁及直線L的方程式，求過圓C₁與直線L的交點，且圓心在直線L₁上，或圓過一點(x₀,y₀)或給圓心的其中一個座標等的。先決條件就是圓C₁及L要有兩個交點，若沒有兩個交點，則無法做下去。

第一種題型時，我們可以設欲求的圓方程式為C:C₁+kC₂，因為所設的方程式一定會經過C₁及C₂的兩個交點了，所以只要再知道圓上的另一點，就可以用三點定一圓的概念去把圓方程式解出來。

例1：求過圓C₁:x²+y²-2x+2y-2=0及圓C₂:x²+y²-6x-2y+1=0

的交點，且圓心在直線3x+8y-1=0上的圓方程式。
解：設此圓方程式為x²+y²-2x+2y-2+k(x²+y²-6x-2y+1)=0

(1+k)x²+(1+k)y²-(2+6k)x+(2-2k)y-2+k=0

　　圓心((1+3k)/(1+k),(-1+k)/(1+k))

　　因為圓心在直線3x+8y-1=0上

　　所以3(1+3k)/(1+k)+8(-1+k)/(1+k)-1=0

　　3+9k-8+8k-1-k=0

　　　　　　 16k=6

　　　　　　　 k=3/8

　　故圓方程為x²+y²-2x+2y-2+3(x²+y²-6x-2y+1)/8=0

　　11x²+11y²-30x+16y-19=0

解釋：若兩圓的兩個交點為(m,n)及(a,b)，而我們設欲求的圓方程式為x²+y²+2gx+2fy+c=0

　　　則有m²+n²+2gm+2fn+c=0

　　　　　a²+b²+2ga+2fy+c=0

　　　　　　　　　-3g-8f-1=0

這與我們直接設圓方程式為x²+y²-2x+2y-2+k(x²+y²-6x-2y+1)=0有同工異曲之妙，因為(m,n)及(a,b)原本就是C₁及C₂上的點，當然m²+n²-2m+2n-2+k(m²+n²-6m-2n+1)=0且a²+b²-2a+2b-2+k(a²+b²-6a-2b+1)=0及(1+3k)+8(-1+k)-1=0。這相當於已知圓上兩點及圓心在某直線上，求圓方程式的做法一樣。

例2：求過圓C₁:x²+y²+4x-6y-3=0及直線5x-2y+8=0的交點，且圓心的x坐標是3的圓方程式。

解：設此圓方程式為x²+y²+4x-6y-3+k(5x-2y+8)=0

　　圓心(-(4+5k)/2,(3+k))

　　-(4+5k)/2=3

　　-4-5k=6

　　-5k=10

　　　k=-2

　　故圓方程式為x²+y²-6x-2y-19=0

解釋：例2與例1類似，只是我們把第二個圓換成直線而已。同樣的，一定要有兩個交點，不然是無法確定要求的是哪一個圓。

　　除了上面所提到的兩種題型，那麼圓系的題目是否還可以有所變化呢？其實是可以的，像在第二個型題下手來做一些變化。第二種題型原是給一圓方程及直線方程，然後再去求另一圓方程，我們可以反過來給兩個圓方程式，然後倒回去求過這兩圓的直線方程式。因為我們已知道C=C₁+kL，所以反過來 kL=C₁-C=0，故要求過兩圓交點的直線方程式，也通過此方法來快速求得。

例3：求過圓C₁:x²+y²-2x+2y-2=0及圓C₂:x²+y²-6x-2y+1=0交點的直線方程式。

解：L: x²+y²-2x+2y-2-(x²+y²-6x-2y+1)=0

　　L:4x+4y-3=0

解釋：其實這種題型也可以用兩點定一直線的概念來理解。假設兩圓的交點為(p,q)及(a,b)，那麼如果我們設欲求的直線方程式為(y-q)=m(x-p)其中m=(q-b)/(p-a)，則有

(q-q)-[(q-b)/(p-a)](p-p) =0, (b-q)-[(q-b)/(p-a)](a-p)=0

這與p²+q²-2p+2q-2-(p²+q²-6p-2q+1)=0, a²+b²-2a+2m-2-(a²+b²-6a-2m+1)=0再度有同工異取之妙啊，因為所設之方程式都滿足那兩個點，故是同一條直線。

為什麼要學弧度制?

　　前陣子在教學生弧度制。結果很多學生問為什麼要學弧度，弧度到底是什麼東西來的，很抽象，很難理解。當時雖然有跟他們做了一些解釋，但我想他們還是不太能接受這東西吧。其實這應該也是很多人想要問的問題，既然都已有了角度制了，那幹嘛還要學弧度制呢？它有什麼好處？

　　首先我們先來解決第一個問題吧，弧度到底是什麼東西？

弧度其實只是一個單位，符號為rad，用來測量角的一個單位。就同測量長度一樣，有mm有cm有m有km，同樣的角也有兩種單位，一種是大家所熟悉的“°”度，另一種就是弧度rad。而一般上為了方便，我們弧度的單位rad省略不寫。

　　角度不會因為圓半徑的大小而有所改變，不論圓的半徑多大，只要是轉了一圈，那就是360°，也就是說角度的大小與圓之半徑無關。所以在定義弧度時，也要保留著這個角的特性，不然就失去其意義了。故弧度被定義為「角所對應的弧長與半徑之比值」，那麼不管圓的半徑r多大，繞一圈，其弧長一定是圓周長即2πr，2πr/r=2π，因此以弧度制來說，一周角是2π。所以在角度與弧度的換算時，我們就可以使用此關係，即2π=360° => π=180°。

像π/4 =180°/4=45°；60°=60°/180°xπ=π/3。

　　再來就是為什麼我們要學弧度？弧度的好處在哪裡呢？

第一個好處：在計算扇形式，其公式被簡化了。l=rθ，S=θr²。

第二個好處：計算上的方便。弧度制在計算方面是以十進制來計算，而角度制在計算方面是以60進制來計算。我想大家對十進制的計算遠比其他進制的計算來得快速吧？不信你去計算30°15'32''+45°50'53'' 和你計算0.528+0.8，哪一個算得比較快？再者因為弧度制是以10進制為計算方式，所以跟我們平時大部份的計算進制相同，故在微積分，物理的角速度等的角都是以弧度來表示而不是用角度來表示，因為不同的進制混在一起會很難計算。

　　也許現在你會問，既然弧度制有這些好處，那當初為什麼不直接教弧度制就好了，還要去教角度制呢？理由很簡單，因為一開始大家都還沒學到圓，還不知道什麼是半徑，什麼是弧長。所以沒有辦法教。

　　總得來說弧度只是角的一種單位，因為他是以十進制為計算方式，所以和其他量配合起來時方便計算。

矩陣vs魔方

　　這東西以前在另一個blog寫過了，那時是略略的寫，前陣子又和學生談起了這東西，他很感興趣，所以就再來寫一次吧。魔方這玩意其實蠻有意思的，如果要追溯它的歷史發展會發現到其實它並不是像現在的人這樣拿來比速度的，它的發明是為了讓學生增強三維的空間思維能力，它是於1974年由函牙利建築學教授和雕塑家厄爾諾．魯比克發明的。當時他做好了第一個作品時，拿來轉動了一下，卻發現要恢復原狀並不是那麼容易的，應該說很困難，當時他完全沒想過魔方會風靡全球。如果學了排列組合，你可以自行去算一算3x3的魔方，八個角，12個棱及6個中心，可以有多少種的變化，粗略計算大約有4.3x10¹⁹種變化。可見要把一個魔方還原並不是那麼容易的。那麼，魔方和矩陣到底有何關係呢？

　　在開始之前我們先來建立一個共識，魔方轉法的術語(網路上常用的術語)

　　R=右手邊(即籃色面)

　　L=左手邊(即籃色的背面"青色")

　　U=頂部(既白色面)

　　D=底部(即黃色面，雖然看不到，哈哈哈)

　　M=中間層

　　F=前面(即紅色面)

B=背面(即紅色的背面"橙色")

沒有任何說明時是順時針轉90°或向前轉90°，當加上" ' "時像U'就是頂部逆時針轉90°

　　(突然發現其實不用講這樣多嘛，我又不是要教玩魔方)

　　

　　廢話講完了，要開始進入正題了。先從矩陣說起吧。我們以比較簡單的三階逆矩陣為例來說明。(雖然二階更簡單，但會看不到東西)。如果一個單位矩陣I，我們乘上一些矩陣E₁,E₂,E₃,E₄使它變成矩陣A。如下：

那如果要求得單位矩陣I的話，就要找出A的逆矩陣A^-1。那A^-1要怎樣求呢？

A^-1=(E₄E₃E₂E₁)^-1=E₁^-1E₂^-1E₃^-1E₄^-1

A^-1A=I=(E₁^-1E₂^-1E₃^-1E₄^-1)E₄E₃E₂E₁

同理若A=E_k...E₃E₂E_1，A^-1=(E_k...E₃E₂E₁)^-1=E₁^-1E₂^-1E₃^-1...E_k^-1

再來我們來看魔方的轉法。假設一個六面已轉好的魔方，我們進行了如此的變化RULF，那如果我們要還原的話，我們旋轉的方式將會是F'L'U'R'。比照上面的矩陣有沒有發現什麼相似的東西呢？

說得明確一點的話，我們把一個已轉好的魔方當作是單位矩陣I，而我們每轉一步就當作是一個E來看代，像RULF中，R是E₁，U是E₂，L是E₃，F是E₄，而經過RULF變化後的魔方就是我們的矩陣A，那要還原成I的話，我們就要乘上A^-1，所以我們做了F'L'U'R'的動作，其中F'是E₄^-1，L'是E₃^-1，U'是E₂^-1，R'是E₁^-1。

　　當然如果我們把它弄得複雜一點的話RULF當作是A，LMDR當作是B，RRUMR當作是C，你依順轉了上面三個變化，那如果你要還原的話，是否可以先還原A再還原B最後還原C，或是先還原C然後還原A再去還原B？拿著魔方自己轉一轉你會發現到，其實都不行。這說明了CBA的逆矩陣不會等於C^-1B^-1A^-1或是C^-1A^-1B^-1等的，只有當你轉的是A^-1B^-1C^-1時才會正確的還原。這與矩陣的不可交換律相附合。即

然而有轉過魔方的人都知道，我們只要遵照一定的公式轉法去轉，那最終我們還是可以還原成六面顏色相同的情況啊，並不需要像我上述所描述的一樣，需要知道別人怎樣後轉再按照他的轉法逆轉回去還原。這和矩陣又有相似之處嗎？其實是有的，在求逆矩陣時，我們學過了代數餘式子法及高斯消元法。而高斯消元法是不管你是幾階的矩陣，只要逆矩陣存在的話，那它就一定可以求得到，這又和魔方所謂的公式又不謀而同了。

其實矩陣的不存在就相當於無法還原的魔方。當一個魔方一開始就已裝錯了，那不管你怎樣去轉，最後還是無法還原成六面都一樣顏色的樣子。同理如果一個矩陣的逆矩陣是不存在的，那你不管去乘上任何矩陣，乘多少次，最終還是無法得到單位矩陣。如出一策的道理。

　　既然已知道魔方的轉法和矩陣有關，那我們是否可以自創公式呢？去搜索一下網上的公式拿來看，像OLL中魚頭的轉法L'URU'LUR'，或是PLL中的其中一個轉法R2URUR'U'R'U'R'UR'又或F2L裡的F'UF等的，如果仔細的去觀察不難發現，其實只要有一個L出現，那就一定會出現另一個L'，有R出現就一定有R'跟它相對應，當你把這些可以相互"抵消"的都畫掉後，最終會留下一個是沒辦法抵消的，而這東西就是促使它"變化"的主要"元素"。在創新公式時，你要知道自己轉過了哪些步驟，最後記得要去原回它。

　　像在轉第二層時，相信很多新手都是用LBL的轉法。其實我在獲知有LBL這公式前一直用著自己的方法來轉，那方法多了很多步驟，而已蠻亂的。假設我要求我右手邊底部中間那顆轉去左手邊中間層那裡的話，轉法是R'F2MF2M'R'(前後的中間層往左邊轉90°)R2(前後的中間層往右邊轉90°)。同相可以轉到，只是過程多了點。

　　要求逆矩陣你可以乘上很多的矩陣可它，使它變成了不懂什麼矩陣去，但最後只要你是想要得到逆矩陣，而你朝的又是對的方向，那最後還是可以求到的。過程是看個人，但最終結果會是相同的。同相是用高斯消元法，十個人去做同一道題，就可能出現好幾種不同的運算過程了，但最終得到的答案還是一樣的。

要如何去應用你所學到的數學，那就要看你的個人造化了。常常有人問數學學來做什麼？反正出了學校就不用再面對了，平常生活只要會加減乘除就好了。看起來似乎是如此沒錯，但有時候如果你會應用你學過的數學知道時，很多事情都可以變得比較簡單易懂了。知識的串聯很重要！

速算之接近100數字之乘法

　　這方法我也不知道稱不稱得上速算，也不知道是不是有別人早已發現了，因為我從不去做這種搜索。會發現這方法是在很多年前了。以前讀書時四叔常拿99x99，98x98等的大數字來問我答案是什麼，當時的我真的還沒想到什麼快速的方法可以去算出來，看他朗朗上口的說出答案，都不知道是不是用來背的。過後不懂在什麼樣的情況下，我跑去了研究這兩位數相乘的算法。剛開始我想到的方法很有限制範圍。那時想到的如下：

算99x99時

我想到9x9=81，所以答案是9801

98x98的話8x8=64，所以答案是9604

97x97=9409因為7x7=49

那時算法是直接拿個位數來乘，得到的數字前面和中間加入9和0進去

就可以得到我想要的答案了。

但這方法卻在算96x96時出錯了，因為6x6=36但96x96不是9306而是9216

就這樣這方法一開始被我發現時只是拿來騙騙人，讓人以為我會算大數的平方

這應該是發生在我高中的時候的事。

　　要是事情就這樣結束了，我當然不會寫這blog來獻醜啦。過後應該還是在高中的那段時間吧，這兩位數乘以兩位數的算法終於被我找到的比較正確的算法了。這想法是從平方差公式想到的，什麼是平方差公式？a²-b²=(a+b)(a-b)

　　因為在運算的都是90多的數字，所以我就想到了把那些數變成了其中一個變成100來計算。所以就會變成99x99=(100-1)x99,98x98=(100-2)x98，可是這個方法又不怎麼快，也就這樣不怎麼被我放在心上，繼續去想其他的方法。

　　終於，也不知道在哪一年時，拿著計算機在那裡按好玩，一邊按一邊想著這些東西，讓我發現到了一種速算的方法，而這方法也是今天我要講的方法。它的好處在於，把兩個很大的數字的相乘，化成兩個數字的加減和兩個小數的乘法，不用紙筆就可以直接心算算出來，而且相信絕大多數的人都可以做到，一學即會的方法。一開始我以為這種方法只能算平方數，後來發現原來也可以拿來算非平方數。到底這是個怎樣的算法呢？

　　解謎時間到：就舉幾個例子來說吧，比較好說明及掌握。

像要計算99x99，我的算法是99差1等於100，所以向其中一個拿1過來，那另一個就剩98了，因為兩個都差1，1x1=01，故99x99=9801

同理計算98x98，我的算法是98差2等於100，所以向其中一個拿2過來，那另一個就剩96了，因為兩個都差2，2x2=04，故98x98=9604

97x97，我的算法是97差3等於100，所以向其中一個拿3過來，那另一個就剩94了，因為兩個都差3，3x3=09，故97x97=9409

所以96x96=(96-4)00+(4x4)=9216

95x95=(95-5)00+(5x5)=9025

94x94=(94-6)00+(6x6)=8836

　　以上算的都是90多的平方數，那如果不是平方數的話呢？又要怎樣算？其實你知道這方法後，只要拿起計算機來按一按，然後看著那個結果，你大概也會想到要如何去計算了。當要運算的不是兩個數字時，它的計算方法和上面的很類似，只不過在減的那時要多加小心而已，拿小數來減。舉幾個例子來說吧

像99x98，99比較接近100，而且差1，而98是差2，所以99x98=(98-1)00+(1x2)=9702

96x92，就會是(92-4)00+(4x8)=8832

91x95=(91-5)00+(5x9)=8645

88x86=(86-12)00+(12x14)=7400+168=7568

當然如果你九九乘法表可以背到比較大的數字時，你運算的範圍就會增大，不然你就需要紙筆了，就像上面那題88x86一樣。

　　那天去參加茶會時，突然被學生問到101x101是多少。yi~~~~~頭腦一時當機，想不出答案。後來再去想想時，想到了兩種計算方法。一種比較偷雞取巧的。

計算101x101時先去算11x11會得121，在從中插0進去，所以得10201

同樣102x102，因為12x12=144，所以答案會是10404

但這種方法到底可行程度到哪裡我也不清楚。

另一種方法就是上面提到那種兩位數相乘的方法的延伸

101x101=(101+1)00+1x1=10201

102x102=(102+2)00+2x2=10404

112x111=(112+11)00+11x12=12300+132=12432

　　總得來說呢，這種算法是 axb = [b-(100-a)]x100+(100-a)(100-b)，其中a>b。

　　最近做數學時常常會拿來和人生做比較，發現其實做數學真的還蠻像人生的，很多思維方式都可以用在生活上。雖然說並不是真的去運用了數學來解決生活問題，但卻是運用了做數學的精神來解決生活問題。難怪以前數學會是屬以哲學裡的一部份。

　　像這次從無到有的一個計算方式，不求助於人自己慢慢的去想，偶爾拿出來想，最後還是被解決掉了。整個過程我也並不是很順利啊，經過了好幾個波折，人生亦是如此，不可能事事順利的，可怕的不是遇到了問題，而是不去面對問題。

　　在做數學裡我常做的一件事，跟之前貼的一則笑話很像，就是一位數學家去應徵消防員工作的。我會把一些問題去化整為零成一些自己能應付或應付起來得心應手的方法來做，也就是指變成自己以前解決過解決到不想再解決的方法來做，那很多事情就可以慢慢的去完成了。

　　當然人生裡還是有很多事是無法做到的，就像數學裡也是有許多世紀難題是還無法解決的，窮其一生也無法解決，也不用抱著遺憾啦，因為人畢竟是能力有限的。

　　要新年了，祝大家新年快樂。